Nhóm cyclic

Tồn tại những số tự nhiên n sao cho mọi nhóm con với cấp n đều cyclic. Ta có thể chứng minh được rằng n = 15 {\displaystyle n=15} là một số như thế bằng cách sử dụng các định lý Sylow: Giả sử G là một nhóm cấp 15 = 3 × 5 {\displaystyle 15=3\times 5} và n 3 , n 5 {\displaystyle n_{3},n_{5}} lần lượt là số các 3-nhóm con Sylow và 5-nhóm con Sylow. Ta có n 3 ∣ 5 {\displaystyle n_{3}\mid 5} và n 3 ≡ 1 ( mod 5 ) {\displaystyle n_{3}\equiv 1{\pmod {5}}} , suy ra n 3 {\displaystyle n_{3}} phải bằng 1, và do đó 3-nhóm con Sylow duy nhất này là nhóm con chuẩn tắc. Tương tự, ta cũng có duy nhất một 5-nhóm con Sylow chuẩn tắc. Vì 3 và 5 là hai số nguyên tố cùng nhau, giao của hai nhóm con Sylow này là tầm thường. Vì vậy, G phải là tích trực tiếp của hai nhóm con Sylow, cũng là hai nhóm con cyclic. Từ đó suy ra G phải là nhóm cyclic. Do đó, tồn tại duy nhất một nhóm cấp 15, là nhóm cyclic Z / 15 Z {\displaystyle \mathbb {Z} /15\mathbb {Z} } (chính xác tới đẳng cấu).

Các nhóm với cấp nhỏ không phải là nhóm đơn

Trong mục này, ta sẽ khảo sát tính tồn tại của các nhóm đơn với cấp "nhỏ".

Nếu G {\displaystyle G} là nhóm đơn và | G | = 30 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 {\displaystyle |G|=30=2\cdot 3\cdot 5} thì n 3 {\displaystyle n_{3}} phải là ước của 10, và n 3 ≡ 1 ( mod 3 ) {\displaystyle n_{3}\equiv 1{\pmod {3}}} . Từ đó suy ra n 3 = 10 {\displaystyle n_{3}=10} , vì 2 , 5 ≢ 1 ( mod 3 ) {\displaystyle 2,5\not \equiv 1{\pmod {3}}} và nếu n 3 = 1 {\displaystyle n_{3}=1} thì G {\displaystyle G} có nhóm con chuẩn tắc cấp 3 (là 3-nhóm con Sylow duy nhất của nó), vì vậy G {\displaystyle G} không thể là nhóm đơn. Do đó, G {\displaystyle G} có 10 nhóm con cấp 3 phân biệt, các nhóm con này đôi một có chung một phần tử duy nhất là e {\displaystyle e} (phần tử đơn vị) và mỗi nhóm con chứa hai phần tử cấp 3. Suy ra G {\displaystyle G} có ít nhất 20 phần tử cấp 3. Tương tự, ta có n 5 = 6 {\displaystyle n_{5}=6} và G {\displaystyle G} chứa ít nhất 6 ⋅ ( 5 − 1 ) = 24 {\displaystyle 6\cdot (5-1)=24} phần tử cấp 5. Như vậy thì tổng số phần tử cấp 3 và cấp 5 ít nhất là 20 + 24 = 44 > 30 = | G | {\displaystyle 20+24=44>30=|G|} , điều này không thể xảy ra. Vì vậy không tồn tại nhóm đơn cấp 30.

Tiếp theo, ta xét nhóm G {\displaystyle G} với cấp 42 = 2 ⋅ 3 ⋅ 7 {\displaystyle 42=2\cdot 3\cdot 7} . Ta có n 7 ∣ 6 {\displaystyle n_{7}\mid 6} và n 7 ≡ 1 ( mod 7 ) {\displaystyle n_{7}\equiv 1{\pmod {7}}} . Do đó n 7 = 1 {\displaystyle n_{7}=1} và vì vậy, G {\displaystyle G} không thể là nhóm đơn.

Mặt khác, xét nhóm G {\displaystyle G} với | G | = 60 = 2 2 ⋅ 3 ⋅ 5 {\displaystyle |G|=60=2^{2}\cdot 3\cdot 5} , khi đó ta tìm được n 3 = 10 {\displaystyle n_{3}=10} và n 5 = 6 {\displaystyle n_{5}=6} . Trên thực tế, nhóm đơn nhỏ nhất mà không phải là nhóm cyclic là A 5 {\displaystyle A_{5}} , nhóm thay phiên trên 5 phần tử. Cấp của A 5 {\displaystyle A_{5}} bằng 5 ! / 2 = 60 {\displaystyle 5!/2=60} và nó chứa 24 phép thế cấp 5 và 20 phép thế cấp 3.